Grundlagen

Eine blosse Beschreibung zeigt, was geschehen könnte. Erst die Bewertung macht sichtbar, wie relevant ein Risiko oder eine Chance für das Unternehmen ist. Sie schafft eine gemeinsame Grundlage für Priorisierung, Aggregation, Steuerung und Berichterstattung.

Vergleichbarkeit: Unterschiedliche Risiken und Chancen werden auf einer gemeinsamen Basis vergleichbar. Dadurch lässt sich erkennen, welche Themen für die Unternehmensziele besonders bedeutsam sind.

Priorisierung: Bewertung unterstützt die Entscheidung, wo Massnahmen, Kontrollen oder zusätzliche Analysen zuerst erforderlich sind.

Aggregation: Für eine realistische Gesamtrisikosicht müssen Einzelrisiken und Chancen mathematisch zusammengeführt werden. Verteilungen bilden dabei die Unsicherheit der Eingabewerte ab.

Transparenz: Annahmen werden nachvollziehbar dokumentiert. Das erleichtert Plausibilisierung, Diskussion und spätere Aktualisierung.

Steuerung: Die Wirkung von Massnahmen und Kontrollen kann anhand veränderter Wahrscheinlichkeiten, Frequenzen oder Auswirkungen nachvollzogen werden.

Wichtig: Eine Bewertung ist keine exakte Vorhersage. Sie ist ein strukturiertes Modell möglicher Entwicklungen auf Basis verfügbarer Informationen und fachlicher Einschätzungen.

Ein Szenario beschreibt eine mögliche zukünftige Ausprägung eines Risikos, einer Chance oder eines Audit-Sachverhalts. Da zukünftige Ereignisse und Auswirkungen selten exakt bekannt sind, werden nicht nur Einzelwerte, sondern je nach Informationslage auch Verteilungen verwendet.

Eine Verteilung beantwortet die Frage, welche Werte möglich sind und wie stark diese Werte gewichtet werden. Sie kann beispielsweise ausdrücken, dass ein mittlerer Wert besonders plausibel ist, dass alle Werte innerhalb einer Bandbreite gleich wahrscheinlich sind oder dass seltene, sehr hohe Schäden möglich bleiben.Nach intensiver Recherche entschieden wir uns für RIMIKSX. Die Software überzeugte uns vor allem durch ihre Flexibilität. Wir konnten unsere bestehenden Inhalte nahezu nahtlos übertragen und so einen reibungslosen Übergang sicherstellen – ganz ohne Unterbruch in unseren Risikomanagement-Prozessen.

Wahrscheinlichkeit: Sie beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis innerhalb einer definierten Periode mindestens einmal eintritt. Beispiel: Eine Eintrittswahrscheinlichkeit von 20 % bedeutet, dass das Ereignis innerhalb der betrachteten Periode mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,20 eintritt.

Frequenz: Sie beschreibt, wie oft ein Ereignis innerhalb einer definierten Periode auftritt. Beispiel: Im Mittel werden drei Systemausfälle pro Jahr erwartet.

Die zeitliche Bezugsperiode muss immer eindeutig sein. Eine Wahrscheinlichkeit von 10 % pro Monat ist nicht dasselbe wie 10 % pro Jahr. Ebenso ist eine Frequenz von zwei Ereignissen pro Quartal anders zu interpretieren als zwei Ereignisse pro Jahr.

Praxisregel: Wahrscheinlichkeit eignet sich besonders für Ereignisse, die innerhalb einer Periode einmal oder gar nicht eintreten. Frequenz eignet sich für wiederkehrende Ereignisse, beispielsweise Reklamationen, Ausfälle, Schadenfälle oder Auditfeststellungen.

Die Schadenhöhe beschreibt die negative Auswirkung eines Risikos. Die Chancenhöhe beschreibt den positiven Effekt einer Chance. Je nach Anwendungsfall können Auswirkungen in Geld, Tagen, Mengen, Prozentwerten oder anderen Einheiten bewertet werden.

• Finanzieller Schaden oder zusätzlicher Ertrag
• Produktionsausfall oder Zeitgewinn
• Kostensteigerung oder Einsparung
• Verlust oder Gewinn von Marktanteilen
• Anzahl betroffener Kunden, Systeme oder Prozesse

Die gleiche Verteilung kann für Risiken und Chancen verwendet werden. Der fachliche Unterschied liegt in der Interpretation: Bei Risiken repräsentiert der Wert eine negative Wirkung, bei Chancen eine positive Wirkung.

Informationslage	Geeignete Modellierung	Beispiel
Wert ist bekannt und unveränderlich	Feste Höhe	Vertraglich fixierte Konventionalstrafe
Nur Minimum und Maximum sind bekannt	Gleichverteilung	Kosten liegen sicher zwischen CHF 50’000 und CHF 100’000; kein Wert ist plausibler als ein anderer
Minimum, typischer Wert und Maximum sind bekannt	Dreiecks- oder PERT-Verteilung	Schaden mindestens CHF 20’000, am ehesten CHF 60’000, maximal CHF 180’000
Mittelwert und Streuung sind statistisch begründbar	Normal-, Lognormal- oder andere parametrische Verteilung	Auswertung historischer Schadenfälle

Die folgende Matrix basiert auf der aktuellen Funktionslogik von RIMIKSX. Die Mehrheit der Verteilungen ist für beide Bewertungsbereiche verfügbar. Binomial- und Poissonverteilung sind exklusiv für Frequenz/Wahrscheinlichkeit verfügbar; die Paretoverteilung ist exklusiv für Schadenhöhen verfügbar.

Verteilung	Frequenz / Wahrscheinlichkeit	Schadenhöhe
Feste Höhe	Ja	Ja
Gleichverteilung	Ja	Ja
Normalverteilung	Ja	Ja
Lognormalverteilung	Ja	Ja
Dreiecksverteilung	Ja	Ja
Exponentialverteilung	Ja	Ja
Gammaverteilung	Ja	Ja
Betaverteilung	Ja	Ja
SkewNormal	Ja	Ja
Binomialverteilung	Ja	Nein
Poissonverteilung	Ja	Nein
Negative Binomialverteilung	Ja	Ja
Weibullverteilung	Ja	Ja
PERT-Verteilung	Ja	Ja
Paretoverteilung	Nein	Ja
Schiefe t-Verteilung	Ja	Ja

1. Kurzbeschreibung und Grundidee
2. Grafik der typischen Verteilungsform
3. Verfügbarkeit in RIMIKSX
4. Eingabeparameter und deren Bedeutung
5. Geeignete Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz
6. Geeignete Anwendung für Schaden- oder Chancenhöhe
7. Optionales Auditbeispiel
8. Praxisbeispiele
9. Interpretation der Simulationsergebnisse
10. Geeignete und weniger geeignete Einsatzbereiche
11. Typische Fehler
12. Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Redaktioneller Grundsatz: Die Beiträge sollen fachlich fundiert, aber ohne unnötige mathematische Hürden verständlich sein. Formeln sind nur dort aufzunehmen, wo sie für das Verständnis oder die korrekte Parametrisierung einen echten Mehrwert schaffen.

Kurzbeschreibung

Die feste Höhe wird verwendet, wenn ein Wert als bekannt und unveränderlich angenommen wird. In jeder Simulation wird derselbe Wert eingesetzt. Eine Streuung oder Unsicherheit wird nicht abgebildet.

Verfügbarkeit	Frequenz/Wahrscheinlichkeit	Schadenhöhe
RIMIKSX	Ja	Ja

Parameter

Parameter	Bedeutung	Eingabehinweis
Fester Wert	Unveränderlicher Wert je Simulation	Nur verwenden, wenn keine relevante Streuung besteht
Einheit	Zum Beispiel CHF, Tage, Anzahl oder Prozent	Einheit und Bezugsperiode eindeutig dokumentieren
Bezugsperiode	Zeitraum, auf den sich der Wert bezieht	Zum Beispiel pro Jahr oder pro Quartal

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Geeignet, wenn eine Häufigkeit oder Wahrscheinlichkeit als fester Wert modelliert werden soll. Beispiel: Ein Ereignis wird in der betrachteten Periode genau einmal berücksichtigt oder eine fest definierte Eintrittswahrscheinlichkeit bleibt unverändert.

Anwendung für Schadenhöhe

Geeignet für vertraglich oder technisch eindeutig festgelegte Beträge, etwa eine Konventionalstrafe, einen Selbstbehalt oder fest vereinbarte Wiederbeschaffungskosten.

Anwendung für Chancen

Geeignet für zugesicherte Förderbeiträge, vertraglich fixierte Einsparungen oder andere positive Werte ohne relevante Bandbreite.

Anwendung bei Audits

Geeignet für fest definierte Prüftage, pauschale Prüfungskosten oder eine eindeutig festgelegte Anzahl obligatorischer Prüfungsschritte.

Praxisbeispiele

Risiko: Bei einer Vertragsverletzung ist eine Konventionalstrafe von CHF 100’000 fest vereinbart.
Chance: Für ein Innovationsprojekt wurde ein Förderbeitrag von CHF 75’000 verbindlich zugesagt.
Audit: Für eine regulatorisch vorgeschriebene Prüfung sind 20 Prüftage budgetiert.

Typische Fehler

Verwendung eines festen Werts, obwohl eine erhebliche Unsicherheit besteht.
Verwechslung eines Planwerts mit einem tatsächlich sicheren Wert.
Fehlende oder uneinheitliche Bezugsperiode.
Zu starke Vereinfachung, wodurch Extremwerte vollständig ausgeschlossen werden

Die Dreiecksverteilung wird eingesetzt, wenn ein kleinster plausibler Wert, ein wahrscheinlichster Wert und ein grösster plausibler Wert geschätzt werden können. Zwischen diesen drei Punkten wird eine einfache, gut nachvollziehbare Verteilungsform aufgebaut.

Verfügbarkeit	Frequenz/Wahrscheinlichkeit	Schadenhöhe
RIMIKSX	Ja	Ja

Parameter

Parameter	Bedeutung	Eingabehinweis
Minimum	Kleinster plausibler Wert	Kein rein theoretischer Null- oder Extremwert
Wahrscheinlichster Wert	Am ehesten erwartete Ausprägung	Muss zwischen Minimum und Maximum liegen
Maximum	Grösster plausibler Wert	Szenario und Bezugsperiode berücksichtigen

Anwendung für Frequenz

Geeignet, wenn die Anzahl von Ereignissen nur als Bandbreite mit einem typischen Wert geschätzt werden kann. Beispiel: Zwischen einem und sechs Ausfällen pro Jahr, am wahrscheinlichsten drei.

Anwendung für Schadenhöhe

Geeignet, wenn ein Mindestschaden, ein typischer Schaden und ein Maximalschaden plausibel bestimmt werden können.

Anwendung für Chancen

Geeignet für erwartete Mehrerträge oder Einsparungen mit einer realistischen Unter- und Obergrenze sowie einem am ehesten erwarteten Wert.

Anwendung bei Audits

Geeignet für geschätzte Prüfaufwände, Umsetzungsdauern oder eine Bandbreite möglicher Feststellungen, sofern ein typischer Wert angegeben werden kann.

Praxisbeispiele

• Frequenz: Ein Unternehmen erwartet pro Jahr mindestens einen, am wahrscheinlichsten drei und höchstens sechs Systemausfälle.
• Schadenhöhe: Ein Produktionsausfall verursacht mindestens CHF 30’000, am wahrscheinlichsten CHF 80’000 und maximal CHF 300’000 Schaden.
• Chance: Eine Vertriebsinitiative bringt mindestens CHF 100’000, am wahrscheinlichsten CHF 250’000 und maximal CHF 600’000 zusätzlichen Deckungsbeitrag.
• Audit: Eine Prüfung führt voraussichtlich zu mindestens zwei, am wahrscheinlichsten fünf und maximal zwölf Feststellungen.

Typische Fehler

• Minimum oder Maximum werden als absolut unmögliche Extremwerte statt als plausible Szenariogrenzen verstanden
• Der wahrscheinlichste Wert wird mit dem arithmetischen Mittel verwechselt
• Die Bandbreite wird zu eng gewählt und unterschätzt dadurch die Unsicherheit
• Die Dreiecksverteilung wird verwendet, obwohl ausreichend historische Daten für eine besser begründete Verteilung vorhanden sind

Kurzbeschreibung: Die Gleichverteilung beschreibt eine Bandbreite zwischen Minimum und Maximum. Jeder Wert innerhalb dieser Bandbreite wird gleich stark gewichtet. Sie ist geeignet, wenn die Grenzen plausibel festgelegt werden können, aber keine fachliche Grundlage für einen wahrscheinlichsten Wert oder eine bestimmte Kurvenform besteht.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung der Gleichverteilung. Die Grafik dient der Veranschaulichung und ersetzt keine fachliche Parametrisierung.

Charakteristik

• Begrenzte Bandbreite mit eindeutigem Minimum und Maximum
• Alle Zwischenwerte besitzen dieselbe Dichte
• Der Erwartungswert liegt in der Mitte der Bandbreite
• Keine Häufung um einen typischen Wert
• Einfach zu kommunizieren, aber häufig zu grob

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Hinweis für die Eingabe
Minimum	Kleinster plausibler Wert	Nicht mit einem theoretisch denkbaren, aber praktisch irrelevanten Extremwert verwechseln
Maximum	Grösster plausibler Wert	Muss zum definierten Szenario und Zeitraum passen

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Beispiel Frequenz: Für einen neuartigen Störungstyp werden pro Jahr mindestens 2 und höchstens 6 Ereignisse erwartet. Mangels weiterer Erkenntnisse werden Werte innerhalb dieser Bandbreite gleich gewichtet. Bei ganzzahligen Ereignissen ist zu prüfen, ob die konkrete Implementierung und Interpretation zur gewünschten Zählvariable passt.

Anwendung für Schadenhöhe

Beispiel Schadenhöhe: Die Reparaturkosten liegen nach ersten Angeboten voraussichtlich zwischen CHF 40’000 und CHF 70’000. Es gibt keinen belastbaren Hinweis, dass ein Wert innerhalb dieser Spanne wahrscheinlicher ist als ein anderer.

Anwendung für Chancenhöhe

Beispiel Chance: Der erzielbare Einsparbetrag aus einer Vertragsneuverhandlung liegt zwischen CHF 80’000 und CHF 140’000. Ohne zusätzliche Informationen werden alle Werte der Bandbreite gleich gewichtet.

Mögliche Anwendung bei Audits

Beispiel Audit: Die Dauer einer Sonderprüfung wird auf 12 bis 18 Prüftage begrenzt. Wenn innerhalb dieser Spanne kein typischer Aufwand bestimmt werden kann, lässt sich die Bandbreite gleichverteilt abbilden.

Interpretation in der Simulation

Die Simulation erzeugt Werte gleichmässig über das gesamte Intervall. Dadurch treten Randbereiche relativ häufig auf. Das kann im Vergleich zu Dreiecks- oder PERT-Verteilungen zu einer stärkeren Gewichtung von Minimum und Maximum führen.

Geeignete Einsatzbereiche

• Frühe Bewertungsphasen mit bekannten Grenzen
• Vertraglich oder technisch begrenzte Bandbreiten
• Szenarien ohne belastbaren wahrscheinlichsten Wert
• Sensitivitätsbetrachtungen mit neutraler Gewichtung innerhalb eines Intervalls

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Sachverhalte mit einem klaren typischen oder wahrscheinlichsten Wert
• Verteilungen mit offenen oder sehr langen Rändern
• Seltene Extremereignisse
• Häufigkeitsmodelle, die durch einen Zählprozess besser beschrieben werden

Typische Fehler

• Minimum und Maximum werden willkürlich symmetrisch um einen Planwert gelegt
• Die Gleichverteilung wird als vorsichtige Standardverteilung verwendet, obwohl ein typischer Wert bekannt ist
• Unrealistische Randwerte erhalten dasselbe Gewicht wie plausible Mittelwerte
• Ganzzahlige Häufigkeiten werden ohne fachliche Prüfung kontinuierlich interpretiert

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Die Dreiecksverteilung und die PERT-Verteilung verwenden ebenfalls Minimum und Maximum, gewichten aber zusätzlich einen wahrscheinlichsten Wert. Die Gleichverteilung ist nur dann überzeugend, wenn tatsächlich keine Ausprägung innerhalb der Bandbreite bevorzugt werden kann.

Kurzbeschreibung: Die Normalverteilung beschreibt eine symmetrische Streuung um einen Mittelwert. Werte nahe am Mittelwert treten häufiger auf, grosse Abweichungen nach oben und unten werden zunehmend seltener. Sie ist besonders geeignet, wenn positive und negative Abweichungen in ähnlicher Form möglich sind.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung der Normalverteilung. Die Grafik dient der Veranschaulichung und ersetzt keine fachliche Parametrisierung.

Charakteristik

• Symmetrische, glockenförmige Verteilung
• Definiert durch Mittelwert und Standardabweichung
• Mittelwert, Median und häufigster Wert stimmen überein
• Theoretisch sind Werte von minus unendlich bis plus unendlich möglich
• Streuung wird direkt über die Standardabweichung gesteuert

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Hinweis für die Eingabe
Mittelwert	Zentraler beziehungsweise durchschnittlich erwarteter Wert	Soll auf Daten oder einer nachvollziehbaren Fachschätzung beruhen
Standardabweichung	Mass für die Streuung um den Mittelwert	Nicht mit einer maximalen Abweichung verwechseln

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Beispiel Frequenz: Die Zahl der monatlich bearbeiteten standardisierten Fälle schwankt aufgrund vieler kleiner Einflüsse um einen Mittelwert. Eine Normalverteilung kann als Näherung geeignet sein, wenn die Werte ausreichend gross sind und negative Resultate praktisch ausgeschlossen oder technisch begrenzt werden. Für echte seltene Zählereignisse sind Poisson- oder Negative-Binomialmodelle meist geeigneter.

Anwendung für Schadenhöhe

Beispiel Schadenhöhe: Die monatlichen Mehrkosten eines stabilen Produktionsprozesses schwanken symmetrisch um CHF 50’000 mit einer Standardabweichung von CHF 6’000. Sowohl Unter- als auch Überschreitungen sind plausibel.

Anwendung für Chancenhöhe

Beispiel Chance: Die zusätzliche Marge aus einem grossen Portfolio ähnlicher Geschäfte liegt im Mittel bei CHF 300’000. Viele unabhängige Einflüsse führen zu ungefähr symmetrischen Abweichungen.

Mögliche Anwendung bei Audits

Beispiel Audit: Die benötigte Prüfzeit für wiederkehrende, vergleichbare Audits streut um 15 Tage. Die Normalverteilung kann sinnvoll sein, wenn Verkürzungen und Verlängerungen etwa symmetrisch auftreten und negative Werte praktisch ausgeschlossen sind.

Interpretation in der Simulation

Rund zwei Drittel der Werte liegen bei einer idealen Normalverteilung innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert. Grössere Standardabweichungen verbreitern die Kurve und erhöhen die Wahrscheinlichkeit deutlicher Abweichungen. In RIMIKSX ist zusätzlich zu prüfen, wie fachlich unmögliche negative Werte behandelt werden.

Geeignete Einsatzbereiche

• Mess- und Prognosefehler mit symmetrischer Streuung
• Summen vieler kleiner, weitgehend unabhängiger Einflüsse
• Abweichungen von Plan-, Budget- oder Mittelwerten
• Grössen, bei denen Werte unterhalb und oberhalb des Mittelwerts plausibel sind

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Ausschliesslich positive, stark rechtsschiefe Schäden
• Seltene Grossschäden
• Kleine Ereigniszahlen
• Grössen mit harten Unter- oder Obergrenzen nahe am Mittelwert

Typische Fehler

• Standardabweichung wird als maximal mögliche Abweichung interpretiert
• Negative Simulationswerte werden übersehen
• Die Verteilung wird nur wegen ihrer Bekanntheit gewählt
• Stark schiefe historische Daten werden symmetrisch modelliert
• Ausreisser werden entfernt, ohne ihre fachliche Bedeutung zu prüfen

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Bei ausschliesslich positiven und rechtsschiefen Werten ist die Lognormalverteilung häufig geeigneter. Sind nur Minimum, wahrscheinlichster Wert und Maximum bekannt, bieten Dreiecks- oder PERT-Verteilungen eine leichter begründbare Alternative.

Kurzbeschreibung: Die Lognormalverteilung bildet positive, rechtsschiefe Werte ab. Kleine und mittlere Ausprägungen treten häufig auf, während selten auch deutlich höhere Werte möglich sind. Sie ist für viele finanzielle Schadenhöhen geeignet, deren Untergrenze bei null liegt und deren oberer Rand nicht scharf begrenzt ist.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung der Lognormalverteilung. Die Grafik dient der Veranschaulichung und ersetzt keine fachliche Parametrisierung.

Charakteristik

• Nur positive Werte
• Rechtsschiefe Verteilung mit langem oberen Rand
• Median, Mittelwert und häufigster Wert unterscheiden sich
• Hohe Werte sind selten, aber ausdrücklich möglich
• Entsteht häufig bei multiplikativen Einflüssen

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Hinweis für die Eingabe
Lageparameter	Bestimmt die zentrale Lage auf logarithmischer Skala	Die konkrete Eingabelogik von RIMIKSX muss in der Benutzeroberfläche erläutert werden
Streuungsparameter	Steuert die Schiefe und Breite	Kleine Änderungen können den oberen Rand deutlich beeinflussen

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Beispiel Frequenz: Für Frequenzen ist die Lognormalverteilung nur dann fachlich sinnvoll, wenn eine positive, kontinuierlich interpretierte Intensität oder Rate modelliert wird. Für die konkrete Anzahl diskreter Ereignisse sind Poisson- oder Negative-Binomialverteilungen meist besser nachvollziehbar.

Anwendung für Schadenhöhe

Beispiel Schadenhöhe: Die Kosten eines Cybervorfalls liegen meistens im unteren bis mittleren sechsstelligen Bereich. Einzelne Vorfälle können jedoch durch Betriebsunterbruch, Wiederherstellung und Haftungsfolgen sehr hohe Schäden verursachen.

Anwendung für Chancenhöhe

Beispiel Chance: Der zusätzliche Deckungsbeitrag aus einer neuen Vertriebspartnerschaft ist positiv und liegt meist in einem moderaten Bereich. Bei aussergewöhnlich erfolgreicher Marktdurchdringung sind deutlich höhere Werte möglich.

Mögliche Anwendung bei Audits

Beispiel Audit: Die finanziellen Auswirkungen festgestellter Kontrollmängel sind häufig gering oder mittel, einzelne Feststellungen können jedoch ein wesentlich höheres Schadenpotenzial aufweisen.

Interpretation in der Simulation

Ein Grossteil der Simulationswerte liegt in einem relativ kompakten Bereich. Der lange rechte Rand beeinflusst jedoch Erwartungswert, Value at Risk und hohe Quantile stark. Deshalb müssen Lage und Streuung gemeinsam plausibilisiert werden; eine scheinbar kleine Parameteränderung kann die Extremwerte wesentlich verändern.

Geeignete Einsatzbereiche

• Positive Schaden- und Kostenwerte mit Rechtsschiefe
• Betriebsunterbrüche, Haftpflicht- und Cyberrisiken
• Preis- und Mengenentwicklungen mit multiplikativer Wirkung
• Chancen mit begrenztem unteren Rand und offenem oberen Potenzial

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Symmetrische Abweichungen um einen Mittelwert
• Werte, die auch negativ sein können
• Sachverhalte mit einem eindeutig festgelegten Maximum
• Diskrete Ereigniszahlen ohne kontinuierliche Interpretation

Typische Fehler

• Arithmetischer Mittelwert und Median werden verwechselt
• Parameter werden aus wenigen Extrembeobachtungen unkritisch geschätzt
• Der lange obere Rand wird unterschätzt
• Die Verteilung wird verwendet, obwohl ein realistisches Maximum existiert
• Einheiten und Transformationen werden nicht dokumentiert

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Die Normalverteilung ist symmetrisch und erlaubt negative Werte. Die Lognormalverteilung ist positiv und rechtsschief. Für extrem schwere Ränder kann eine Paretoverteilung geeigneter sein; diese steht in RIMIKSX gemäss aktueller Funktionsliste nur für Schadenhöhen zur Verfügung.

Kurzbeschreibung: Die PERT-Verteilung ist eine geglättete Drei-Punkt-Verteilung. Sie verwendet Minimum, wahrscheinlichsten Wert und Maximum, gewichtet den wahrscheinlichsten Wert jedoch stärker als die einfache Dreiecksverteilung. Dadurch entstehen weniger Werte unmittelbar an den Grenzen und eine realistischere Konzentration im plausiblen Mittelbereich.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung der PERT-Verteilung. Die Grafik dient der Veranschaulichung und ersetzt keine fachliche Parametrisierung.

Charakteristik

• Begrenzte Verteilung mit Minimum und Maximum
• Geglättete Kurvenform auf Basis einer Beta-Verteilung
• Stärkere Konzentration um den wahrscheinlichsten Wert
• Weniger Gewicht an den Randwerten als bei der Dreiecksverteilung
• Gut geeignet für Schätzungen von Dauer, Aufwand, Kosten und Nutzen

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Hinweis für die Eingabe
Minimum	Kleinster plausibler Wert	Als realistische Untergrenze festlegen
Wahrscheinlichster Wert	Am ehesten erwartete Ausprägung	Erhält bei der Standard-PERT eine erhöhte Gewichtung
Maximum	Grösster plausibler Wert	Als realistische Obergrenze festlegen

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Beispiel Frequenz: Für einen bestimmten Vorfall werden mindestens 1, am wahrscheinlichsten 2 und höchstens 7 Ereignisse pro Jahr erwartet. Die PERT-Verteilung legt mehr Gewicht auf Werte nahe 2 und weniger auf die Grenzen. Bei ganzzahligen Zählgrössen ist die konkrete Anwendung fachlich zu prüfen.

Anwendung für Schadenhöhe

Beispiel Schadenhöhe: Ein Qualitätsproblem verursacht mindestens CHF 50’000, am wahrscheinlichsten CHF 120’000 und höchstens CHF 500’000. Die Randwerte sind möglich, sollen aber weniger stark gewichtet werden als bei einer Dreiecksverteilung.

Anwendung für Chancenhöhe

Beispiel Chance: Eine Prozessautomatisierung bringt mindestens CHF 100’000, am wahrscheinlichsten CHF 280’000 und höchstens CHF 700’000 jährlichen Nutzen.

Mögliche Anwendung bei Audits

Beispiel Audit: Die Dauer eines komplexen Audits beträgt mindestens 10, am wahrscheinlichsten 16 und höchstens 30 Prüftage. Die PERT-Verteilung konzentriert die Simulation stärker auf den typischen Bereich.

Interpretation in der Simulation

Die Simulation liefert überwiegend Werte in der Nähe des wahrscheinlichsten Werts. Die festgelegten Grenzen werden nicht überschritten. Gegenüber der Dreiecksverteilung fallen Erwartungswert und hohe Quantile je nach Schiefe oft weniger stark durch die Randwerte geprägt aus.

Geeignete Einsatzbereiche

• Projekt- und Investitionsschätzungen
• Kosten-, Dauer- und Nutzenbewertungen mit Drei-Punkt-Schätzungen
• Risiken und Chancen mit plausiblen Grenzen und einem klaren typischen Wert
• Expertenschätzungen, bei denen Randwerte möglich, aber deutlich weniger wahrscheinlich sind

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Sachverhalte ohne belastbaren wahrscheinlichsten Wert
• Offene oder extrem schwere Ränder
• Echte Zählprozesse mit spezifischer diskreter Wahrscheinlichkeitslogik
• Fälle, in denen die Randwerte bewusst stark gewichtet werden sollen

Typische Fehler

• PERT und Dreiecksverteilung werden ohne Begründung austauschbar verwendet
• Der wahrscheinlichste Wert wird zu optimistisch angesetzt
• Minimum und Maximum werden zu eng gewählt und unterschätzen Unsicherheit
• Die stärkere Gewichtung des typischen Werts wird bei der Interpretation nicht berücksichtigt

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Die Dreiecksverteilung ist einfacher und weist lineare Flanken auf. Die PERT-Verteilung ist glatter und konzentriert mehr Wahrscheinlichkeit um den wahrscheinlichsten Wert. Wenn keine bevorzugte Ausprägung bekannt ist, ist die Gleichverteilung transparenter.

Kurzbeschreibung: Die Binomialverteilung beschreibt, wie viele Erfolge oder Ereignisse bei einer festen Anzahl voneinander unabhängiger Versuche auftreten. Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse, beispielsweise Erfolg oder Misserfolg, Fehler oder kein Fehler.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit

Beispielhafte Darstellung. Die Grafik dient der Veranschaulichung; die konkrete Form ergibt sich aus den in RIMIKSX verwendeten Parametern.

Charakteristik

• Diskrete Verteilung mit ganzzahligen Ergebnissen
• Feste Zahl von Versuchen
• Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch
• Versuche werden als unabhängig angenommen
• Der Erwartungswert ergibt sich aus Anzahl Versuche multipliziert mit Erfolgswahrscheinlichkeit

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Eingabehinweis
Anzahl Versuche n	Zahl der betrachteten unabhängigen Versuche	Muss eine positive ganze Zahl sein
Erfolgswahrscheinlichkeit p	Wahrscheinlichkeit für das definierte Ereignis je Versuch	Wert zwischen 0 und 1 beziehungsweise 0 % und 100 %

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Beispiel Frequenz: Bei 20 unabhängig geprüften Lieferungen besteht je Lieferung eine Wahrscheinlichkeit von 10 %, dass eine Qualitätsabweichung festgestellt wird. Die Binomialverteilung beschreibt, wie viele der 20 Lieferungen voraussichtlich betroffen sind.

Mögliche Anwendung bei Audits

Beispiel Audit: In einer Stichprobe von 50 Belegen wird je Beleg zwischen korrekt und fehlerhaft unterschieden. Auf Basis einer angenommenen Fehlerwahrscheinlichkeit kann die Verteilung der möglichen Anzahl Feststellungen modelliert werden.

Interpretation in der Simulation

Die Simulation liefert für jeden Lauf eine ganzzahlige Anzahl von Erfolgen beziehungsweise Ereignissen zwischen 0 und n. Hohe Werte werden wahrscheinlicher, wenn entweder die Zahl der Versuche oder die Erfolgswahrscheinlichkeit steigt.

Geeignete Einsatzbereiche

• Fehleranzahl in einer festgelegten Stichprobe
• Anzahl Ausfälle bei einer festen Zahl vergleichbarer Komponenten
• Anzahl erfolgreicher Angebote aus einer bekannten Zahl von Offerten
• Kontrollabweichungen bei einer definierten Zahl von Prüfungen

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Unbekannte oder variable Zahl von Versuchen
• Ereignisse mit stark wechselnder Wahrscheinlichkeit
• Abhängige Versuche, bei denen ein Ergebnis die folgenden beeinflusst
• Schadenhöhen oder andere kontinuierliche Werte

Typische Fehler

• Poissonverteilung verwenden, obwohl die Zahl der Versuche tatsächlich bekannt und begrenzt ist
• Erfolgswahrscheinlichkeit aus zu kleinen oder nicht vergleichbaren Daten ableiten
• Abhängigkeiten zwischen den Versuchen ignorieren
• Prozentwerte und Dezimalwerte verwechseln

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Die Binomialverteilung unterscheidet sich von der Poissonverteilung durch die feste Zahl von Versuchen und die ausdrückliche Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch. Die Poissonverteilung modelliert dagegen die Anzahl von Ereignissen in einer Periode ohne feste Obergrenze.

Kurze Auswahlhilfe

Binomial wählen, wenn eine feste Zahl vergleichbarer Versuche vorliegt und für jeden Versuch nur zwei Ergebnisse relevant sind.

Kurzbeschreibung: Die Poissonverteilung beschreibt die Anzahl unabhängiger Ereignisse innerhalb einer festgelegten Zeitspanne, Fläche oder sonstigen Bezugsgrösse. Sie ist besonders geeignet, wenn Ereignisse eher selten auftreten und eine durchschnittliche Ereignisrate bekannt ist.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit

Beispielhafte Darstellung. Die Grafik dient der Veranschaulichung; die konkrete Form ergibt sich aus den in RIMIKSX verwendeten Parametern.

Charakteristik

• Diskrete Verteilung mit ganzzahligen Ereignisanzahlen
• Keine feste obere Grenze der Ereignisanzahl
• Ein zentraler Parameter: durchschnittliche Ereignisrate
• Erwartungswert und Varianz sind im Grundmodell gleich gross
• Ereignisse werden als unabhängig und mit konstanter Rate angenommen

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Eingabehinweis
Ereignisrate λ	Durchschnittlich erwartete Anzahl Ereignisse pro Bezugsperiode	Zeitraum und Einheit müssen eindeutig angegeben werden

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Beispiel Frequenz: Ein Unternehmen verzeichnet durchschnittlich drei Systemunterbrüche pro Jahr. Die Poissonverteilung bildet ab, ob in einem einzelnen Jahr beispielsweise 0, 2, 3, 5 oder mehr Unterbrüche auftreten.

Mögliche Anwendung bei Audits

Beispiel Audit: Aus historischen Prüfungen ergeben sich durchschnittlich zwei wesentliche Feststellungen pro Audit. Die Poissonverteilung kann die mögliche Zahl der Feststellungen in einer vergleichbaren künftigen Prüfung beschreiben.

Interpretation in der Simulation

Die häufigsten Simulationsergebnisse liegen in der Nähe der eingegebenen Ereignisrate. Auch deutlich höhere Werte sind möglich, werden jedoch mit zunehmender Entfernung vom Mittelwert immer seltener. Bei kleinen λ ist die Verteilung deutlich rechtsschief.

Geeignete Einsatzbereiche

• Anzahl Störungen, Reklamationen oder Ausfälle pro Periode
• Seltene unabhängige Ereignisse
• Anzahl Feststellungen in vergleichbaren Prüfungen
• Schadenmeldungen oder Vorfälle bei stabiler Exposition

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Ereignisse treten gebündelt oder voneinander abhängig auf
• Varianz ist deutlich grösser als der Mittelwert
• Ereignisrate verändert sich stark über den betrachteten Zeitraum
• Es besteht eine feste, bekannte Zahl von Versuchen

Typische Fehler

• Unterschiedliche Zeiträume in Daten und Modell verwenden
• Durchschnittswerte aus strukturell verschiedenen Einheiten vermischen
• Überdispersion ignorieren
• Poisson für Ereignisse mit Saisonalität oder Clustering ohne Anpassung einsetzen

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Die Poissonverteilung ist einfacher als die Negative Binomialverteilung. Wenn die beobachtete Streuung wesentlich grösser ist als der Mittelwert, ist die Negative Binomialverteilung häufig geeigneter.

Kurze Auswahlhilfe

Poisson wählen, wenn eine durchschnittliche Ereignisrate bekannt ist und die Ereignisse unabhängig mit ungefähr konstanter Rate auftreten.

Kurzbeschreibung: Die Negative Binomialverteilung beschreibt diskrete Ereignisanzahlen mit stärkerer Streuung als bei der Poissonverteilung. Sie eignet sich insbesondere, wenn Ereignisse ungleichmässig auftreten, sich häufen oder zwischen vergleichbaren Perioden stark schwanken.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung. Die Grafik dient der Veranschaulichung; die konkrete Form ergibt sich aus den in RIMIKSX verwendeten Parametern.

Charakteristik

• Diskrete Verteilung mit ganzzahligen Werten
• Kann eine Varianz abbilden, die über dem Mittelwert liegt
• Geeignet für überstreute und gebündelte Ereignisanzahlen
• Mehrere gebräuchliche Parametrisierungen möglich
• Die konkrete Bedeutung der Eingaben muss mit der Implementierung in RIMIKSX übereinstimmen

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Eingabehinweis
Lage-/Erfolgsparameter	Steuert das durchschnittliche Niveau der Verteilung	Bezeichnung kann je nach Softwareparametrisierung variieren
Streuungs-/Formparameter	Bestimmt, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen	Kleinere oder grössere Werte können je nach Definition unterschiedlich wirken

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Beispiel Frequenz: Die Zahl der Cybervorfälle schwankt stark. In ruhigen Jahren treten wenige Vorfälle auf, in einzelnen Jahren entstehen durch Angriffswellen deutlich mehr Ereignisse. Die Negative Binomialverteilung kann diese Überstreuung besser abbilden als die Poissonverteilung.

Anwendung für Schadenhöhe

Beispiel Schadenhöhe: Wenn die Schadenhöhe nur ganzzahlige Einheiten annehmen kann, etwa Anzahl ausgefallener Produktionseinheiten oder notwendiger Ersatzteile, kann die Negative Binomialverteilung verwendet werden. Für kontinuierliche Geldbeträge sind meist andere Verteilungen besser geeignet.

Anwendung für Chancenhöhe

Beispiel Chance: Die Anzahl zusätzlicher Vertragsabschlüsse aus einer Kampagne kann stark zwischen Perioden schwanken. Werden diese als ganzzahlige Chancenhöhe betrachtet, kann die Negative Binomialverteilung eine breite Streuung abbilden.

Mögliche Anwendung bei Audits

Beispiel Audit: Die Anzahl Feststellungen variiert bei vergleichbaren Audits stark, weil sich Mängel in einzelnen Organisationseinheiten bündeln. Die Negative Binomialverteilung berücksichtigt diese stärkere Streuung.

Interpretation in der Simulation

Gegenüber der Poissonverteilung erzeugt die Negative Binomialverteilung häufiger sehr niedrige und sehr hohe Ereignisanzahlen. Dadurch steigt in der Aggregation die Bedeutung ungünstiger Perioden mit gehäuften Ereignissen.

Geeignete Einsatzbereiche

• Ereigniszahlen mit nachweisbarer Überdispersion
• Gebündelte Reklamationen, Störungen oder Schadenfälle
• Stark schwankende Anzahl Feststellungen
• Ganzzahlige Schaden- oder Chancengrössen

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Symmetrische kontinuierliche Schadenhöhen
• Sehr stabile Ereignisrate mit Varianz nahe dem Mittelwert
• Kleine Datenbasis ohne Hinweis auf Überdispersion
• Situationen, in denen die Parametrisierung nicht eindeutig verstanden wird

Typische Fehler

• Negative Binomialverteilung allein wegen einzelner Ausreisser wählen
• Unterschiedliche Parametrisierungen verwechseln
• Kontinuierliche Geldwerte ohne fachliche Begründung diskret modellieren
• Streuung zu hoch ansetzen und damit Extremwerte künstlich verstärken

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Die Negative Binomialverteilung ist flexibler als die Poissonverteilung, benötigt aber zusätzliche Parametrisierung. Sie sollte eingesetzt werden, wenn Daten oder Fachbeurteilung tatsächlich eine stärkere Streuung begründen.

Kurze Auswahlhilfe

Negative Binomial wählen, wenn Ereignisanzahlen deutlich stärker schwanken, als es eine Poissonverteilung zulassen würde.

Kurzbeschreibung: Die Exponentialverteilung ist eine kontinuierliche, rechtsschiefe Verteilung für ausschliesslich nichtnegative Werte. Sie weist viele kleine und wenige sehr grosse Ausprägungen auf und wird häufig zur Modellierung von Wartezeiten, Lebensdauern oder Zeitabständen zwischen Ereignissen verwendet.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung. Die Grafik dient der Veranschaulichung; die konkrete Form ergibt sich aus den in RIMIKSX verwendeten Parametern.

Charakteristik

• Kontinuierliche Verteilung für Werte ab null
• Stark rechtsschief
• Höchste Dichte nahe null
• Ein einzelner Skalen- beziehungsweise Ratenparameter
• Gedächtnislose Eigenschaft: die verbleibende Wartezeit hängt im Grundmodell nicht von der bereits verstrichenen Zeit ab

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Eingabehinweis
Rate λ oder Mittelwert/Skala	Bestimmt das durchschnittliche Niveau und den Abfall der Verteilung	Prüfen, ob RIMIKSX Rate oder Mittelwert erwartet; beide sind Kehrwerte voneinander

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Beispiel Frequenz beziehungsweise Zeitabstand: Zwischen zwei technischen Störungen liegen im Durchschnitt 30 Tage. Die Exponentialverteilung beschreibt die mögliche Wartezeit bis zum nächsten Ereignis. Für eine direkt ganzzahlige Anzahl Ereignisse pro Jahr ist dagegen häufig die Poissonverteilung geeigneter.

Anwendung für Schadenhöhe

Beispiel Schadenhöhe: Viele Schadenfälle verursachen geringe Kosten, während wenige Fälle deutlich höhere Beträge erreichen. Eine Exponentialverteilung kann dieses Muster abbilden, wenn die starke Konzentration bei kleinen Werten fachlich plausibel ist.

Anwendung für Chancenhöhe

Beispiel Chance: Die Mehrerlöse aus einzelnen Zusatzgeschäften sind meistens klein, können in seltenen Fällen aber deutlich höher ausfallen. Die Exponentialverteilung kann diese positive, rechtsschiefe Chancenhöhe modellieren.

Mögliche Anwendung bei Audits

Beispiel Audit: Die Bearbeitungszeit einzelner Feststellungen ist häufig kurz, einzelne komplexe Fälle benötigen jedoch sehr viel mehr Zeit. Eine Exponentialverteilung kann die Dauer modellieren, sofern keine Mindestbearbeitungszeit und keine Alterungseffekte berücksichtigt werden müssen.

Interpretation in der Simulation

Die Simulation erzeugt überwiegend kleine Werte und gelegentlich sehr hohe Ausprägungen. Der Erwartungswert wird durch den Parameter festgelegt, die Verteilung besitzt jedoch einen langen rechten Rand. Dadurch können seltene hohe Schäden oder lange Wartezeiten die Aggregation beeinflussen.

Geeignete Einsatzbereiche

• Wartezeiten bis zum nächsten Ereignis
• Zeitabstände bei ungefähr konstanter Ereignisrate
• Positive, stark rechtsschiefe Schaden- oder Chancenhöhen
• Lebensdauern ohne Alterungs- oder Verschleisseffekt

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Werte mit klarer Untergrenze oberhalb null
• Symmetrisch verteilte Grössen
• Schäden mit ausgeprägtem wahrscheinlichstem Wert oberhalb null
• Alterungsprozesse mit zunehmender oder abnehmender Ausfallrate

Typische Fehler

• Rate und Mittelwert verwechseln
• Exponentialverteilung verwenden, obwohl ein plausibles Minimum besteht
• Sehr hohe Extremwerte nicht auf fachliche Plausibilität prüfen
• Wartezeiten und Ereignisanzahlen vermischen

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Die Exponentialverteilung steht in enger Beziehung zur Poissonverteilung: Bei einem Poissonprozess sind die Zeitabstände zwischen den Ereignissen exponentialverteilt. Für Lebensdauern mit veränderlicher Ausfallrate ist die Weibullverteilung flexibler.

Kurze Auswahlhilfe

Exponential wählen, wenn positive Werte nahe null am häufigsten sind und die Wahrscheinlichkeit mit zunehmender Höhe kontinuierlich abnimmt.

Kurzbeschreibung: Die Gammaverteilung beschreibt positive, kontinuierliche Werte mit häufig rechtsschiefer Form. Sie eignet sich für Grössen, bei denen kleine bis mittlere Ausprägungen häufig vorkommen, sehr grosse Werte aber möglich bleiben.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung der Gammaverteilung. Die konkrete Form wird durch die gewählten Parameter bestimmt.

Charakteristik

• Nur positive Werte
• Je nach Parametern deutlich oder nur leicht rechtsschief
• Flexibel für Wartezeiten, Dauern und kumulierte positive Grössen
• Keine feste obere Grenze
• Extremwerte sind möglich, aber weniger dominant als bei Pareto

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Praktischer Eingabehinweis
Formparameter α	Steuert Form und Schiefe	Kleine Werte führen zu starker Rechtsschiefe
Skalenparameter θ	Bestimmt die Grössenordnung und Streuung	An Einheit und Zeitraum anpassen
Optional Lageparameter	Verschiebt die Untergrenze	Nur verwenden, wenn RIMIKSX dies vorsieht

Die gezeigten Parameter entsprechen der üblichen statistischen Darstellung. Für die Website müssen Benennung und Reihenfolge an die tatsächlichen RIMIKSX-Eingabefelder angepasst werden.

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Ein Servicebereich erhält pro Monat eine positive, kontinuierlich modellierte Arbeitslast aus mehreren kleineren Vorfällen. Die meisten Monate liegen im unteren Bereich, einzelne Monate weisen jedoch deutlich höhere Belastungen auf. Die Gammaverteilung kann eine solche rechtsschiefe Belastung abbilden. Für reine ganzzahlige Ereignisanzahlen sind Poisson- oder Negative Binomialverteilung meist fachlich naheliegender.

Anwendung für Schaden- oder Chancenhöhe

Ein Produktionsunterbruch verursacht überwiegend Schäden zwischen CHF 30’000 und CHF 120’000. Einzelne Fälle können deutlich teurer werden, negative Werte sind ausgeschlossen. Die Gammaverteilung bildet diese positive und rechtsschiefe Schadenstruktur ab.

Beispiel Chance

Der zusätzliche Deckungsbeitrag aus Cross-Selling ist stets positiv. Kleine Mehrerträge treten häufig auf, während einzelne Kundenbeziehungen sehr hohe Beiträge erzeugen können.

Beispiel Audit

Die Bearbeitungsdauer einer Prüfungsfeststellung ist positiv und rechtsschief: Viele Feststellungen werden rasch geschlossen, einzelne benötigen wegen Abhängigkeiten wesentlich länger.

Interpretation der Simulationsergebnisse

Eine stärkere Rechtsschiefe erhöht den Abstand zwischen typischen Werten und hohen Quantilen. Dadurch können Erwartungswert, Value at Risk und Extremquantile deutlich auseinanderliegen. Besonders die oberen Quantile sollten fachlich geprüft werden.

Geeignete Einsatzbereiche

• Positive Warte- und Bearbeitungszeiten
• Rechtsschiefe Kosten- oder Schadenwerte
• Kumulierte positive Aufwände
• Szenarien ohne feste Obergrenze

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Symmetrische Daten mit plausiblen negativen Werten
• Feste Obergrenze
• Reine Ereignisanzahlen ohne kontinuierliche Interpretation

Typische Fehler

• Gamma ungeprüft für diskrete Anzahlen verwenden
• Form- und Skalenparameter verwechseln
• Unrealistisch hohe Randwerte nicht plausibilisieren
• Zeitraum der Werte nicht eindeutig festlegen

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Die Gammaverteilung ist flexibler als die Exponentialverteilung; diese ist ein Spezialfall der Gammafamilie. Gegenüber der Lognormalverteilung kann Gamma bei ähnlicher Rechtsschiefe andere Randbereiche erzeugen. Die Wahl sollte anhand von Daten, Quantilen und fachlicher Plausibilität erfolgen.

Kurzbeschreibung: Die Betaverteilung ist eine sehr flexible kontinuierliche Verteilung für Werte innerhalb eines festen Intervalls. In ihrer Grundform liegt sie zwischen 0 und 1 und eignet sich deshalb besonders für Anteile, Quoten und Wahrscheinlichkeiten. Durch Skalierung kann sie auch auf andere begrenzte Wertebereiche übertragen werden.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung der Betaverteilung. Die konkrete Form wird durch die gewählten Parameter bestimmt.

Charakteristik

• Feste Unter- und Obergrenze
• Sehr unterschiedliche Formen möglich
• Kann links-, rechts- oder symmetrisch ausgeprägt sein
• Besonders geeignet für Quoten und normierte Werte
• Keine Werte ausserhalb des definierten Intervalls

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Praktischer Eingabehinweis
Formparameter α	Steuert Gewichtung und Form am unteren Bereich	Muss positiv sein
Formparameter β	Steuert Gewichtung und Form am oberen Bereich	Muss positiv sein
Minimum	Untere fachliche Grenze bei skalierter Beta	Plausibel und erreichbar definieren
Maximum	Obere fachliche Grenze bei skalierter Beta	Nicht mit einem theoretisch unmöglichen Wert verwechseln

Die gezeigten Parameter entsprechen der üblichen statistischen Darstellung. Für die Website müssen Benennung und Reihenfolge an die tatsächlichen RIMIKSX-Eingabefelder angepasst werden.

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Kontrollart einen Fehler erkennt, liegt fachlich sicher zwischen 0 und 100 %. Erfahrungswerte deuten auf einen Schwerpunkt im oberen Bereich hin. Eine Betaverteilung kann diese Unsicherheit innerhalb klarer Grenzen abbilden.

Anwendung für Schaden- oder Chancenhöhe

Die Schadenquote eines Portfolios kann nicht unter 0 % und nicht über 100 % liegen. Innerhalb dieses Bereichs sind jedoch unterschiedliche Schwerpunktlagen möglich. Eine skalierte Betaverteilung eignet sich für solche begrenzten relativen Schadenwerte.

Beispiel Chance

Der realisierbare Anteil eines identifizierten Einsparpotenzials liegt zwischen 0 % und 100 %. Die Betaverteilung bildet ab, dass mittlere Realisierungsgrade wahrscheinlich und extreme Werte seltener sind.

Beispiel Audit

Bei einer Stichprobe wird der erwartete Anteil fehlerhafter Vorgänge als unsicherer Prozentwert modelliert. Die Betaverteilung ist dafür geeignet, sofern sie nicht mit einer diskreten Anzahl von Fehlern verwechselt wird.

Interpretation der Simulationsergebnisse

Die Formparameter bestimmen, ob die Wahrscheinlichkeit eher am unteren Rand, am oberen Rand oder in der Mitte konzentriert ist. Hohe Quantile bleiben stets innerhalb der definierten Obergrenze. Diese Grenze muss daher fachlich besonders sorgfältig festgelegt werden.

Geeignete Einsatzbereiche

• Wahrscheinlichkeiten und Quoten
• Realisierungsgrade
• Begrenzte relative Schäden oder Chancen
• Werte mit fachlich festen Grenzen

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Unbegrenzte Schadenhöhen
• Ganzzahlige Ereignisanzahlen
• Situationen ohne belastbare Unter- und Obergrenze

Typische Fehler

• Beta ohne Skalierung als Geldbetrag interpretieren
• Grenzen zu eng setzen und Extremfälle ausschliessen
• Formparameter ohne fachliche Erklärung wählen
• Anteile und absolute Werte vermischen

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Die Betaverteilung ist erheblich flexibler als die Gleichverteilung, weil Werte innerhalb der Grenzen unterschiedlich gewichtet werden können. Gegenüber PERT ist Beta mathematisch allgemeiner; PERT ist für drei leicht schätzbare Werte oft anwenderfreundlicher.

Kurzbeschreibung: Die Weibullverteilung ist eine positive, kontinuierliche Verteilung, die besonders häufig für Lebensdauern, Ausfallzeiten und technische Zuverlässigkeit eingesetzt wird. Ihr Formparameter ermöglicht sinkende, konstante oder steigende Ausfallraten.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung der Weibullverteilung. Die konkrete Form wird durch die gewählten Parameter bestimmt.

Charakteristik

• Nur positive Werte
• Sehr flexible Form durch den Formparameter
• Geeignet für Lebensdauer- und Zuverlässigkeitsanalysen
• Kann frühe Ausfälle, Zufallsausfälle oder Verschleiss abbilden
• Keine feste obere Grenze

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Praktischer Eingabehinweis
Formparameter k	Bestimmt Verlauf der Ausfallrate	k<1 frühe Ausfälle; k≈1 konstant; k>1 Verschleiss
Skalenparameter λ	Charakteristische Grössenordnung	In derselben Einheit wie die modellierte Grösse
Optional Lageparameter	Definiert einen Mindestwert oder Startpunkt	Nur bei fachlicher Begründung verwenden

Die gezeigten Parameter entsprechen der üblichen statistischen Darstellung. Für die Website müssen Benennung und Reihenfolge an die tatsächlichen RIMIKSX-Eingabefelder angepasst werden.

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Die Zeit bis zum nächsten Ausfall einer technischen Anlage wird modelliert. Ein Formparameter über 1 kann abbilden, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit mit zunehmendem Alter steigt. Bei k nahe 1 nähert sich die Verteilung der Exponentialverteilung.

Anwendung für Schaden- oder Chancenhöhe

Die Dauer eines Produktionsstillstands ist positiv und kann stark variieren. Die meisten Störungen werden rasch behoben, einzelne dauern wegen Ersatzteilen oder Spezialisten deutlich länger. Eine Weibullverteilung kann diese Struktur modellieren, sofern der Lebensdauer- oder Ausfallbezug fachlich passt.

Beispiel Chance

Die Zeit bis zur erfolgreichen Markteinführung eines Produktes wird als positive Dauer betrachtet. Mit einer geeigneten Parametrisierung kann abgebildet werden, dass die Erfolgschance nach Abschluss bestimmter Entwicklungsphasen zunimmt.

Beispiel Audit

Die Zeit bis zur Entdeckung eines Kontrollmangels oder bis zur Umsetzung einer Massnahme kann als positive Dauer modelliert werden, insbesondere wenn sich die Erledigungswahrscheinlichkeit über die Zeit verändert.

Interpretation der Simulationsergebnisse

Der Formparameter ist zentral: Bei k<1 nimmt die Ausfallrate ab, bei k≈1 bleibt sie konstant und bei k>1 steigt sie an. Diese Interpretation sollte auf der Website ausdrücklich erläutert werden, weil sie die Wahl der Verteilung wesentlich bestimmt.

Geeignete Einsatzbereiche

• Lebensdauer technischer Komponenten
• Zeit bis zu einem Ereignis
• Ausfalldauern und Reparaturzeiten
• Verschleiss- und Zuverlässigkeitsszenarien

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Symmetrische finanzielle Schwankungen
• Feste obere Grenze
• Einfache Dreipunktschätzungen ohne Datenbasis

Typische Fehler

• Weibull nur wegen ihrer Flexibilität wählen, ohne Lebensdauerbezug
• Formparameter fachlich falsch deuten
• Zeit bis Ereignis mit Ereignisanzahl verwechseln
• Einheit und Beobachtungszeitraum nicht abstimmen

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Die Exponentialverteilung ist ein Spezialfall mit konstanter Ausfallrate. Weibull ist flexibler, wenn die Ausfallrate über die Zeit steigt oder sinkt. Gegenüber Gamma steht bei Weibull häufiger der Lebensdauer- und Zuverlässigkeitskontext im Vordergrund.

Kurzbeschreibung: Die SkewNormal-Verteilung erweitert die Normalverteilung um einen Parameter für die Schiefe. Sie ist geeignet, wenn Werte grundsätzlich glockenförmig verteilt sind, aber auf einer Seite einen längeren Randbereich aufweisen.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung der SkewNormal. Die konkrete Form wird durch die gewählten Parameter bestimmt.

Charakteristik

• Kontinuierliche Verteilung
• Erweitert die Normalverteilung um Asymmetrie
• Kann links- oder rechtsschief sein
• Bei Schiefeparameter 0 entspricht sie der Normalverteilung
• Je nach Parametrierung sind negative Werte möglich

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Praktischer Eingabehinweis
Lageparameter ξ	Bestimmt zentrale Lage	An erwarteten Schwerpunkt anpassen
Skalenparameter ω	Steuert Streuung	Muss positiv sein
Schiefeparameter α	Bestimmt Richtung und Stärke der Asymmetrie	Vorzeichen und Wirkung anhand einer Vorschau prüfen

Die gezeigten Parameter entsprechen der üblichen statistischen Darstellung. Für die Website müssen Benennung und Reihenfolge an die tatsächlichen RIMIKSX-Eingabefelder angepasst werden.

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Die monatliche Bearbeitungsdauer einer Ereigniskategorie liegt meist nahe einem zentralen Wert, zeigt aber gelegentlich längere Bearbeitungszeiten. Eine rechtsschiefe SkewNormal-Verteilung kann dies abbilden. Für reine ganzzahlige Frequenzen ist sie nur dann passend, wenn RIMIKSX die Grösse bewusst kontinuierlich interpretiert.

Anwendung für Schaden- oder Chancenhöhe

Die Ergebnisabweichung eines Projektes liegt ungefähr um einen zentralen Betrag, negative und positive Abweichungen sind möglich. Teure Überschreitungen treten jedoch stärker auf als gleich grosse Einsparungen. Eine rechtsschiefe SkewNormal-Verteilung ist dafür geeigneter als eine symmetrische Normalverteilung.

Beispiel Chance

Die Mehrerträge einer Vertriebsinitiative schwanken um einen Zielwert. Positive Übererfüllungen sind ausgeprägter als negative Abweichungen, wodurch eine asymmetrische Verteilung fachlich plausibel ist.

Beispiel Audit

Die Abweichung der tatsächlichen Prüfdauer vom Planwert kann auf beiden Seiten auftreten, wobei Verzögerungen häufiger oder stärker ausfallen als Verkürzungen.

Interpretation der Simulationsergebnisse

Mit zunehmender Schiefe verschieben sich Mittelwert, Median und Modus auseinander. Die Lage des höchsten Dichtebereichs entspricht deshalb nicht automatisch dem Erwartungswert. Bei der Interpretation sollten zentrale Werte und Quantile gemeinsam betrachtet werden.

Geeignete Einsatzbereiche

• Annähernd glockenförmige, aber asymmetrische Daten
• Abweichungen um einen zentralen Wert
• Szenarien mit möglichen positiven und negativen Ergebnissen
• Weiterentwicklung einer bereits plausiblen Normalverteilung

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Ausschliesslich positive Werte bei hohem Nullrisiko
• Sehr schwere Extremwertbereiche
• Feste Grenzen
• Kleine Datenbasis ohne belastbare Aussage zur Schiefe

Typische Fehler

• SkewNormal verwenden, obwohl Lognormal oder Gamma fachlich besser passen
• Negative Werte nicht prüfen
• Schiefeparameter nur optisch statt fachlich festlegen
• Lageparameter mit Erwartungswert gleichsetzen

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Gegenüber der Normalverteilung bildet SkewNormal Asymmetrie ab. Gegenüber Lognormal und Gamma kann sie auch negative Werte zulassen. Wenn besonders schwere Randbereiche erwartet werden, ist die schiefe t-Verteilung häufig geeigneter.

Kurzbeschreibung: Die schiefe t-Verteilung verbindet Asymmetrie mit schwereren Randbereichen als die Normal- oder SkewNormal-Verteilung. Sie eignet sich für Szenarien, bei denen Ausreisser wahrscheinlicher sind und zugleich eine Richtung der Schiefe erkennbar ist.

Verfügbar in RIMIKSX: Frequenz/Wahrscheinlichkeit und Schadenhöhe

Beispielhafte Darstellung der Schiefe t-Verteilung. Die konkrete Form wird durch die gewählten Parameter bestimmt.

Charakteristik

• Kontinuierliche Verteilung
• Asymmetrische Form
• Schwere Randbereiche mit erhöhter Extremwertwahrscheinlichkeit
• Flexibel durch Freiheitsgrade und Schiefeparameter
• Je nach Parametrierung sind negative Werte möglich

Eingabeparameter in RIMIKSX

Parameter	Bedeutung	Praktischer Eingabehinweis
Lageparameter	Bestimmt den zentralen Bereich	Nicht automatisch mit Mittelwert gleichsetzen
Skalenparameter	Steuert Streuung	Muss positiv sein
Freiheitsgrade ν	Bestimmen Stärke der Randbereiche	Kleine Werte erzeugen stärkere Extrembereiche
Schiefeparameter	Bestimmt Richtung und Stärke der Asymmetrie	Auswirkung über Grafik und Quantile prüfen

Die gezeigten Parameter entsprechen der üblichen statistischen Darstellung. Für die Website müssen Benennung und Reihenfolge an die tatsächlichen RIMIKSX-Eingabefelder angepasst werden.

Anwendung für Wahrscheinlichkeit oder Frequenz

Die monatliche Belastung aus operativen Störungen schwankt um einen normalen Bereich, einzelne Perioden weisen jedoch aussergewöhnlich hohe Werte auf. Eine rechtsschiefe t-Verteilung kann die erhöhte Wahrscheinlichkeit solcher Extremmonate abbilden. Für ganzzahlige Ereignisanzahlen bleibt eine diskrete Verteilung meist vorzuziehen.

Anwendung für Schaden- oder Chancenhöhe

Der finanzielle Effekt eines Marktrisikos kann sowohl positiv als auch negativ sein. Negative Ausschläge sind jedoch stärker und extreme Ergebnisse häufiger als bei einer Normalverteilung. Eine linksschiefe t-Verteilung kann diese Struktur abbilden.

Beispiel Chance

Der zusätzliche Ertrag einer strategischen Initiative ist unsicher. Die meisten Resultate liegen nahe dem Plan, einzelne sehr erfolgreiche Ausgänge sind jedoch deutlich wahrscheinlicher als unter einer Normalverteilung.

Beispiel Audit

Die Abweichung der Prüfkosten vom Budget ist meist moderat, kann bei Sonderuntersuchungen aber stark nach oben ausschlagen. Eine rechtsschiefe t-Verteilung berücksichtigt solche seltenen, aber wesentlichen Mehrkosten.

Interpretation der Simulationsergebnisse

Kleine Freiheitsgrade führen zu deutlich höheren Extremquantilen. Der Value at Risk und insbesondere sehr hohe Quantile reagieren deshalb stark auf die Parametrisierung. Sensitivitätsanalysen und Plausibilitätsprüfungen sind zwingend.

Geeignete Einsatzbereiche

• Finanzielle Markt- und Ergebnisrisiken
• Szenarien mit Ausreissern
• Asymmetrische Abweichungen
• Stresstests und hohe Quantile

Weniger geeignete Einsatzbereiche

• Feste Grenzen
• Sehr einfache Schätzsituationen ohne Daten
• Reine positive Werte, wenn negative Ergebnisse ausgeschlossen sind und nicht abgeschnitten werden

Typische Fehler

• Zu kleine Freiheitsgrade ohne Datenbegründung
• Extremwerte doppelt berücksichtigen, etwa zusätzlich über separate Szenarien
• Negative Werte trotz fachlichem Ausschluss zulassen
• Komplexe Parameter ohne Sensitivitätsanalyse verwenden

Abgrenzung zu ähnlichen Verteilungen

Gegenüber SkewNormal besitzt die schiefe t-Verteilung schwerere Randbereiche. Gegenüber Pareto kann sie beide Vorzeichen und einen zentralen, annähernd glockenförmigen Bereich abbilden. Für ausschliesslich positive Extremverluste ist Pareto häufig direkter interpretierbar.